LLM 이 나비에-스토크스를 풀었다면, 공은 누구의 것인가

소문 한 줄에서 시작됐습니다

9월 3일, 수학계에 소문이 돌았습니다. "Anthropic 이 대형 난제를 풀었다"는 이야기였습니다. 뉴욕대 쿠랑연구소에서 유체 방정식을 연구하는 Tristan Buckmaster 교수는 그 소문의 주인공이 자신일 가능성이 높다고 판단했습니다. 동료 연구자에게서 소문을 전해 들었고, 함께 연구해 온 수학자 Levent Alpöge 의 이름까지 거론되고 있었기 때문입니다. Alpöge 는 Anthropic 소속입니다. 공식

Buckmaster 는 OpenAI 에서 일하는 한 수학자에게 이메일을 보냈습니다. 의도는 경쟁이 아니라 정리였습니다. 그는 메일에서 두 사람의 연구가 기관 프로젝트가 아니라 개인적인 협업이며, 쓰는 도구 비용은 자기 연구비로 내고 있다고 설명했습니다. 결과는 논문과 형식 검증을 함께 곧 공개하겠다고도 적었습니다. 공개적으로 말을 꺼내는 대신 당사자에게 먼저 사실을 알린 것입니다. 공식

9월 8일, Buckmaster 는 그 이후에 벌어진 일을 4쪽짜리 성명서로 공개했습니다. 공식

나비에-스토크스가 대체 무엇인가요

이야기의 배경에는 방정식 하나가 있습니다.

나비에-스토크스 방정식은 물과 공기가 앞으로 어떻게 흐를지 계산해 주는 식입니다. 지금 이 순간 물의 속도를 넣으면 잠시 뒤의 속도를 알려 줍니다. 수도꼭지에서 쏟아지는 물줄기, 굴뚝에서 올라가는 연기, 태풍의 소용돌이가 모두 이 식을 따릅니다.

문제는 이 식이 언제까지 답을 내놓는지 아무도 모른다는 것입니다. 물이 흐르면 큰 소용돌이가 작은 소용돌이로 쪼개집니다. 쪼개질수록 더 빨라집니다. 그런데 쪼개지고 빨라지기를 반복하다가 어느 순간 속도가 무한대로 튀어 버리면, 식은 그때부터 아무 답도 내놓지 못합니다. 실제 강물이나 바람에서는 그런 일이 일어나지 않는 것처럼 보입니다. 하지만 "식 위에서도 그런 일이 없다"를 증명한 사람은 아직 없습니다. 공식

용어 두 개만 알면 뒤의 이야기가 읽힙니다.

유한시간 폭발은 방금 말한 그 상황, 그러니까 속도가 무한대로 튀면서 계산이 멈춰 버리는 순간을 가리킵니다. 이런 일이 일어난다는 것을 보여도 되고, 절대 일어나지 않는다는 것을 보여도 됩니다. 둘 중 하나만 증명하면 문제는 풀립니다.

강제항은 밖에서 물을 계속 밀어 주는 힘입니다. 냄비 밑의 불, 물을 젓는 숟가락 같은 것입니다. 밖에서 아무것도 밀어 주지 않는 물은 저절로 잦아들기만 합니다. 반대로 계속 밀어 주면 폭발을 만들어 내기가 훨씬 쉬워집니다. 이번 이야기에 등장하는 결과들은 전부 이 "밀어 주는" 쪽입니다. 공식

왜 상금 100만 달러가 걸려 있나요

일기예보, 비행기 날개 설계, 혈관 속 피의 흐름이 전부 이 식으로 계산됩니다. 그런데 그 계산이 언제나 믿을 만한지는 증명되어 있지 않습니다. 클레이 수학연구소가 2000년에 100만 달러 상금을 건 일곱 문제 중 하나로 이 방정식을 넣은 이유입니다. 일곱 문제 가운데 지금까지 풀린 것은 푸앵카레 추측 하나뿐이고, 나비에-스토크스는 여전히 미해결로 분류돼 있습니다. 공식

상금 조건은 생각보다 넓습니다. Charles L. Fefferman 이 쓴 공식 문제 서술은 네 진술 가운데 하나만 증명하면 대상으로 인정하는데, 강제항을 다루는 방식이 진술마다 다릅니다. 공식

즉 밖에서 매끄럽게 밀어 주는 힘이 있는 상태의 폭발도 상금 경로입니다. Buckmaster 가 통화에서 "강제"라는 단어를 듣고 곧바로 경고 신호로 받아들인 이유가 여기 있습니다. 공식

두 사람이 실제로 공개한 것

성명서의 첫 문장은 분명합니다. Buckmaster 와 Alpöge 가 공개한 것은 유한시간 폭발 결과 세 건이고, 대상은 비압축성 다공성 매질, Boussinesq, 그리고 3차원 비압축성 Euler 방정식입니다. 나비에-스토크스 자체는 여기에 들어 있지 않습니다. 공식

다만 이 셋은 나비에-스토크스와 남남이 아니라 한 가족입니다. Euler 방정식은 나비에-스토크스에서 끈적임, 그러니까 점성을 빼 버린 식입니다. 꿀 대신 물, 물 대신 완전히 미끄러운 가상의 액체를 생각하면 됩니다. Boussinesq 방정식은 여기에 온도 차이로 생기는 대류를 얹은 것으로, 아래를 데우면 위로 올라가는 흐름을 다룹니다. 비압축성 다공성 매질 방정식은 모래나 스펀지 같은 구멍 뚫린 물질 속을 액체가 지나가는 상황을 다룹니다.

수학자들이 이런 이웃 방정식부터 건드리는 데는 이유가 있습니다. 본 문제가 너무 단단해서, 구조가 비슷하면서 조금 무른 곳부터 뚫어 보는 것입니다. Buckmaster 가 성명서에서 아직 공개하지 않은 결과를 언급하며 "점성을 약하게 만든 나비에-스토크스"의 폭발도 확인했다고 본 것, 그리고 그것이 강제항 없는 Euler 로 가는 길을 시사한다고 적은 것이 같은 맥락입니다. 한 칸씩 본 문제 쪽으로 다가가는 중이라는 뜻입니다. 공식

Buckmaster 는 공을 다른 사람들에게 돌렸습니다. 이 접근법의 기본 착상은 스페인의 수학자 Diego Córdoba 와 Luis Martínez-Zoroa 의 것이고, 두 사람이 여러 해 동안 파 온 길을 자신들이 LLM 의 도움을 받아 끝까지 밀고 갔을 뿐이라는 것입니다. 그는 Martínez-Zoroa 가 필즈 메달을 받을 자격이 있다고 적었습니다. 8월 15일에 결과를 얻었고 8월 22일에 Lean 으로 검증했으며, 도구로는 Claude 와 Codex 를 함께 썼다고 밝혔습니다. 공식

9월 6일 일요일, 두 번의 통화

Buckmaster 는 다음 주에 이야기하자고 했지만 OpenAI 쪽은 당일 만남을 두 차례 요청했습니다. 9월 6일 일요일 오후, OpenAI 의 Sebastien Bubeck 이 합류한 통화가 두 번 이어졌습니다. Alpöge 는 참여하지 않았습니다. 공식

Buckmaster 는 그 자리에서 OpenAI 내부 모델이 강제 나비에-스토크스의 유한시간 폭발 증명을 만들었으며 분량이 약 100쪽이라는 이야기를 들었다고 적었습니다. 그리고 곧바로 덧붙였습니다. "나는 그것을 보지 못했다." 공식

그가 성명서에서 문제 삼은 것은 세 가지입니다. 하나씩 보겠습니다.

첫째, 인간이 얼마나 개입했는가. Alpöge 는 Bubeck 에게서 "인간 입력이 아주 적었다"는 말을 들었습니다. Buckmaster 는 이렇게 씁니다. "이것은 사실이 아닌 것으로 드러났다." 통화가 진행되는 동안 OpenAI 팀원들이 내부 채팅으로 Bubeck 에게 정정과 세부 사항을 보내면서 실제 정황이 나왔다는 것입니다. 팀 전체가 이 문제에 매달렸고, 여러 시도 중 하나였으며, 모델에게 먼저 Euler 같은 더 쉬운 문제부터 풀렸고, 자신에게 보여 준 그 프롬프트조차 Codex 로 작성한 것이었고, 엄청난 양의 연산을 썼다는 내용입니다. 쉽게 말해 "모델에게 문제를 던졌더니 혼자 풀었다"에 가까운 그림이 "사람들이 여러 단계로 붙어서 만들어 낸 결과"에 가까운 그림으로 바뀐 것입니다. 공식

둘째, 언제 시작했는가. Buckmaster 는 첫 프롬프트를 언제 보냈는지 물었습니다. 그의 서술에 따르면 이 질문에는 한동안 직접적인 답이 오지 않았고, 결국 "며칠 사이에, 우리 연구에 관한 정보가 OpenAI 에 닿은 뒤에 보내졌다"는 데 합의가 이뤄졌습니다. 그가 이 대목을 중요하게 본 이유는 방향 때문입니다. 강제항을 통해 밀레니엄 문제로 가는 이 경로는 Córdoba 와 Martínez-Zoroa 가 연 길이고, 자신과 Alpöge 가 조용히 골라 파고 있던 길이며, 다른 연구자는 거의 없었다는 것입니다. 그래서 통화에서 "강제"라는 단어를 들은 순간이 그에게는 강한 경고 신호였습니다. 공식

셋째, 우리 작업물을 봤는가. 두 사람은 프로젝트 내내 모든 초고를 Codex 세션에 넣어 두고 작업했습니다. Buckmaster 는 모델이 그 세션에 접근했거나 그것으로 훈련되었는지 물었습니다. 돌아온 답은 "모델은 사용자 데이터를 조회하지 않는다"였습니다. 그가 다시, 이번에는 훈련에 대해 묻자 답을 받지 못했다고 적었습니다. 조회와 훈련은 다른 질문인데 한쪽에만 답이 온 셈입니다. 공식

저자 이름을 빼라는 요구

통화에서는 두 가지 제안이 나왔습니다. 첫째는 두 사람이 Euler 결과를 먼저 올리고 다음 날 OpenAI 가 나비에-스토크스 결과를 올리는 것, 둘째는 Euler 를 올린 뒤 Buckmaster 혼자 나비에-스토크스 결과를 소개하는 논문을 쓰면서 그것을 OpenAI 내부 모델이 해결했다고 밝히는 것이었습니다. 두 번째 제안은 Alpöge 의 이름이 빠지는 형태입니다. 공식

성명서에 따르면 Bubeck 은 Alpöge 를 저자에서 빼기를 원한다고 두 차례 말했고, "Levent 가 Anthropic 에서 일한다는 사실만 아니었으면 전부 간단했을 텐데 정말 짜증난다"는 취지로 덧붙였습니다. Buckmaster 는 두 제안을 모두 거절했습니다. 공식

Buckmaster 가 제안대로 공개되면 경위를 알리겠다고 하자 이런 말이 돌아왔다고 적혀 있습니다.

"왜 당신 커리어를 망치려 하나?"

자신은 학자인데 왜 공개가 커리어를 망치는 일이 되느냐고 되묻자, 다음 답이 왔습니다.

"내가 친절하게 굴기를 원하지 않는다면, 나도 친절할 필요는 없다."

두 문장을 풀면 이렇게 읽힙니다. 앞의 말은 조용히 넘어가는 편이 당신에게 이롭다는 뜻이고, 뒤의 말은 그러지 않을 경우 상대가 태도를 바꿀 수 있다는 뜻입니다. Buckmaster 가 성명서를 쓰기로 한 이유를 설명하는 대목이기도 합니다. 공식

얼마 뒤 Alpöge 에게는 Bubeck 과 단둘이 이야기하자는 문자가 왔습니다. 거기에는 "Tristan 이 지금 완전히 이성적인 상태인지 모르겠다"는 말이 붙어 있었습니다. 공동 저자 두 사람을 갈라 한 명하고만 이야기하려는 시도로 읽히는 대목입니다. Alpöge 는 거절하면서 대화는 Buckmaster 와 하라고 답했습니다. 공식

Buckmaster 가 하지 않은 주장

성명서에서 가장 조심스러운 대목은 마지막에 있습니다.

"나는 OpenAI 의 증명을 보지 못했다. 그들의 모델이 무엇을 어떻게 했는지 모른다. 우리 데이터가 쓰였는지도 모른다. 나는 누구도 고발하고 있지 않다."

풀어 쓰면 이런 뜻입니다. 그는 OpenAI 가 표절했다거나 증명이 가짜라고 말하고 있지 않습니다. 자신이 들은 말이 무엇이었고, 언제 들었고, 어떤 제안을 받았는지만 기록으로 남기는 것입니다. 그 이유도 밝혔습니다. 그렇게 하지 않으면 앞으로 나올 발표들이 그가 사실이 아니라고 알고 있는 내용을 말하게 되기 때문입니다. 그는 만약 OpenAI 모델이 정말로 나비에-스토크스까지 간극을 메웠다면 그것은 대단한 일이며 OpenAI 가 직접, 경위를 온전히 밝히면서 크게 알려야 한다고도 적었습니다. 공식

남는 것

Buckmaster 가 원래 하려던 이야기는 따로 있었습니다. 결과 자체보다 수학자 한 사람과 모델이 한 달 만에 이만큼을 해냈다는 사실이 중요하다는 것, 그래서 학생을 가르치는 방식과 공을 나누는 방식과 논문을 심사하는 방식을 다시 이야기해야 한다는 것이었습니다. 그는 이를 딥블루가 카스파로프를 이긴 순간에 비유했습니다. 공식

한편 Terence Tao 는 9월 3일 Mathstodon 에 글을 올려, AI 가 과정을 공개하지 않은 채 이런 문제를 먼저 풀 경우 문제 자체가 학문의 자산으로서 훼손될 수 있다고 지적했습니다. 이틀 뒤에는 자신이 아는 중대한 진전은 없으며 앞의 논의는 가정이라고 덧붙였습니다. 보도

무엇을 보면 되나요

• OpenAI 의 증명 공개 여부. 원문이 나오고 경위가 함께 밝혀지는지가 첫 갈림길입니다.
• 공개된 세 결과의 검증. Lean 형식화 공개와 동료 심사 통과 여부입니다.
• 클레이 심사 요건. 상금은 인정 학술지 게재, 게재 후 2년 경과, 세계 수학계의 일반적 수용이라는 세 조건을 모두 만족해야 검토가 시작되고, 연구소는 해법을 직접 제출받지 않습니다. 공식 어느 쪽이든 결론까지는 시간이 걸립니다. 추정